一阶常系数非齐次线性微分方程求解

介绍使用Mathematica求解一阶常系数非齐次线性微分方程的步骤。
要求的方程形式就是封面中的方程。

操作方法

（01）首先，可以直接使用DSolve开查看一阶常系数非齐次线性微分方程通解的形式。有一个未知常量C1，此外还含有一个积分。

（02）下面详细给出推演步骤（可手算）。首先，我们令【非齐次方程】这个符号存储我们的偏微分方程。

（03）接下来，首先去掉等号右边非齐次项，计算这个齐次方程的解我们保存为符号【齐次解】。

（04）接着，我们要算满足非齐次项的特解。我们把解中的常数C[1]替换为关于微分变量t的函数C[1][t]。把替换后的式子存储为符号【常数变易】。稍后，我们需要算出C[1][t]。

（05）然后，我们把替换后的这个【常数变易】（半成品的解）带回非齐次方程。这样，我们就得到了一个关于C[1][t]的方程，把这个方程存储到符号【求c的方程】。

（06）然后，我们求解这个求C[1][t]的方程。可以使用DSolve求解也可以容易的分离变量观察得出。把解出的C[1][t]命名为【C1t的替换】。

（07）然后，我们把这个【C1t的替换】替换到【齐次解】，就得到了一个满足原来非齐次方程的【特解】。

（08）【最终解】就等于【特解】+【通解】。使用如图代码合并两个解。这个解中只有一个未定常数C（只不过由于解相加相加写成了C[1]+C[2]）把【最终解】带入原方程，可见满足原方程。

（09）这里再给出了几个非齐次项已知的特殊情况，比如令f[t]=t或者e^t或者Sin[t]。

特别提示

由于本方程是一阶的，因此有一个不定常数C。这个C在通解中。最终解是特解+通解。

之所以使用HoldForm保持解的表达式，是为了替换u[t]->...可以成功。否则MMA会把D[u[t],...]转化为简写的偏导表示，u'[t]就不会被u[t]->规则替换和计算。