微分方程及其相应解法（二阶篇）

微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型的微分方程及其相应解法。

操作方法

（01）1.二阶常系数齐次线性微分方程解法一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0特征方程r2+pr+q=0的两根为r1,r2  微分方程y”+py’+qy=0的通解两个不相等的实根r1,r2                     y=C1er1x+C2er2x两个相等的实根r1=r2                       y=(C1+C2x)er1x一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ         y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)

（02）2.1.二阶常系数非齐次线性微分方程解法一般形式: y”+py’+qy=f(x)先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解求y”+py’+qy=f(x)特解的方法:① f(x)=Pm(x)eλx型令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数

（03）2.2.②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型令y*=xkeλx［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数

（04）有关微分方程的题目有很多，不可能一一列举出来，但我们可以掌握方法，开拓思维，这样我们的高数才会得以提高。