如何证明三角形三条高交于一点

很多人都知道三角形的三条高相交于一点，但却不知道为什么相交于一点，这里蕴含了很多的数学重要思想，对中高考压轴题都很有帮助，下面小编来为你用多种不同的方法证明。

操作方法

（01）证法一：运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。已知：△ABC的两条高BE、CF相交于点O，第三条高AD交高BD于点Q，交高CF于点P。求证：P、Q、O三点重合证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠AEB = ∠AFC = 90°又∵∠BAE = ∠CAF∴△ABE ∽ △ACF∴，即AB·AF = AC·AE又∵AD⊥BC∴△AEQ ∽ △ADC，△AFP ∽ △ADB∴，即AC·AE = AD·AQ，AB·AF = AD·AP∵AB·AF = AC·AE，AC·AE = AD·AQ，AB·AF = AD·AP∴AD·AQ = AD·AP∴AQ = AP∵点Q、P都在线段AD上∴点Q、P重合∴AD与BE、AD与CF交于同一点∵两条不平行的直线只有一个交点∴BE与CF也交于此点∴点Q、P、O重合。

（02）证法二：连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边，运用四点共圆性质。已知：△ABC的两条高AD、BE相交于点O，第三条高CF交高AB于点F，连结CO交AB于点F。求证：CF⊥AB。证明:∵AD⊥BC于E，BE⊥AC于E∴A、B、D、E四点共圆∴∠1＝∠ABE同理∠2＝∠1∴∠2＝∠ABE∵∠ABE+∠BAC＝90°，∴∠2+∠BAC＝90°即CF⊥AB。

（03）证法三：证明两条高的交点在第三条高线上，建立直角坐标系运用代数方法证明。证明：如图6，以直线BC为x轴，高AD为y轴，建立直角坐标系，设A(0 , a) , B(b , 0) , C(c , 0),由两条直线垂直的条件则三条高的直线方程分别为：解（2）和（3）得∴这说明BE和CF得交点在AD上，所以三角形的三条高相交于一点。

（04）证法四：转化为证明另一个三角形的三条中垂线（或中线）交于一点。已知：AD、BE、CF是△ABC的三条高。求证：AD、BE、CF相交于一点。证明：过点A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线ML、MN、NL∵AM∥BC，MB∥AC∴四边形AMBC是平行四边形∴AM＝BC同理，AL＝BC∴AM＝AL∵AD⊥ML∴AD是ML的垂直平分线同理，BE、CF分别是MN、NL的垂直平分线而三角形的三条垂直平分线相交于一点∴AD、BE、CF相交于一点。

（05）证法五：运用锡瓦（Ceva）定理证明。已知：AD、BE、CF是△ABC的三条高。求证：AD、BE、CF相交于一点。证明：如图，∵AD⊥BC于E，BE⊥AC于E∴△ABD ∽ △CBF∴          （1）同理，由△ADC ∽ △BEC得，          （2）由△AFC ∽ △AEB（3）三式相乘得即∴AD、BE、CF相交于一点。

（06）证法六：用向量方法证明（初中没有学过相关知识的可以不掌握）

特别提示

以上方法仅供参考，如有错误之处敬请谅解