各类未定式求极限处理方法（主要针对考研数学）

不管是在高中还是大学，未定式求极限总是常考内容。特别是考研基本都是必考。本篇是各类未定式的求极限的方法总结。部分内容为大学高数内容，但是大部分内容同样适合高中。

操作方法

（01）未定式处理遵循先定型后定法原则。现在我们在这里先将未定式分为4大类型（定型）：1.基本型     即0/0型（零比零型），∞/∞型（无穷比无穷型）。2.无穷乘零型   即∞x0型。3.幂指函数型。4.无穷减无穷型    即∞-∞型。

（02）基本型：直接用洛必达法则，过程中注意每一步都要判断是否还保持基本型。同时过程中要“四化”（“四化”详见注意事项）。洛必达法则，即为对分子分母分别求导数。

（03）无穷乘零型（∞x0）：先“下放”再用洛必达就是将∞x0，中的一项变换到分母位置。变换后为0/(1/∞)或者外∞/(1/0)，这样实际上就变成了0/0型和∞/∞，这就成了基本型了。之后的步奏就用基本型的方法做。

（04）幂指函数型（1的∞次方，∞的0次方，0的0次方）：先指数对数化，之后其幂必定变为了∞x0型，然后幂的极限求法就依照类型2（即无穷乘零型）操作。此处说明指数对数化，上面三种幂指函数指数对数化后为,e的（∞xln 1）次方，e的（0 x ln ∞）次方，e的（0 x ln 0）次方。他们都指数都实际上都分别变成了∞ x 0，0 x ∞，0 x -∞。这就可以按照类型2处理了。

（05）无穷减无穷型（∞-∞）：此类型还细分外三种情况。1.分式差，方法就是通分，之后它局变为了基本型，就参照基本型处理，直接洛必达。2.根式差，看成是分母为1的分式，然后将分子有理化，之后它也变成了基本型3.既非分式也非根式,此类型较为复杂，一般可令x=1/t,这样就出现了分式。就可按前两种情况处理。

（06）终极方法（通法）：将分式中的上下部分度化成迈克劳林式子。此方法一般问题都能解决但是较为麻烦，在没有其他思路的情况下考虑此法。

特别提示

“四化”：1,.无穷小因子等价化（此为大学内容，注意等价化条件只能是在整体的分子或分母）

2.幂指函数指数对数化。

3.无理式有理化。

4.非“0”极限因子淡化，就是把它算出来搁在一边暂不理它

每用一次洛必达后都要检查式子的类型，有些时候洛必达一次后式子已经不再是基本型了，不能连续用洛必达。

蛮干不能蛮断：不要一看洛必达后的式子极限不存在就认为极限不存在，因为你可能用错了。