线性代数：如何求矩阵的逆矩阵

逆矩阵的性质和定义

（01）设有一个方阵A，若存在一个方阵B，使得AB=I或BA=I，则称B是A的逆矩阵，用A-1表示（事实上若AB=I,则必有BA=I）。注意：并不是所有矩阵都有逆矩阵。

传统求逆矩阵方法

（01）求出 det(M) ,也就是矩阵M的行列式的值。行列式的值通常显示为逆矩阵的分母值，如果行列式的值为零，说明矩阵不可逆。

（02）求出 MT , 即转置矩阵。矩阵的转置体现在沿对角线作镜面反转，也就是将元素 (i,j) 与元素 (j,i) 互换。

（03）求出每个2X2小矩阵的行列式的值。

（04）将它们表示为如图所示的辅助因子矩阵，并将每一项与显示的符号相乘。这样就得到了伴随矩阵（有时也称为共轭矩阵），用 Adj(M) 表示。

（05）由前面所求出的伴随矩阵除以第一步求出的行列式的值，从而得到逆矩阵。

（06）逆矩阵转置，然后列出每个元素周围的2x2矩阵。检查三遍行列式的值，如果和原矩阵对应的位置的数相同，那么你求出的结果就是原矩阵的逆矩阵。使用这个方法，不需要担心符号的问题。

楔积法求逆矩阵

（01）用M表示3x3的矩阵，D表示它的逆矩阵。用ci表示M的列向量，其中i = 0..2。

（02）计算D = c ^ c1 ^ c2，其中'^'表示楔积。如果D为零，那说明M没有逆矩阵。否则，M-1的第i行 = (c(i+1) mod 3 ^ c(i + 2) mod 3)) / D，其中i = 0.2

高斯－若尔当方法求逆矩阵

（01）这是个有趣的求逆矩阵方法。。。。。。。。。。。。玩玩这些行（加、乘或对换）直至把矩阵 A变成单位矩阵 I。

（02）在单位矩阵上也做一模一样的运算，单位矩阵便会奇妙的变成逆矩阵！

（03）例子：求 "A" 的逆：

（04）把给予的矩阵 A 与 单位矩阵 I 并排写下来：（这叫 "增广矩阵"）

（05）接着我们尽力去把 "A" （在左边的矩阵）变成单位矩阵。我们的目标是把矩阵 A 的对角线变成全是 1，而在所有其他位置都是 0 （单位矩阵）。。。。。。在右边的矩阵也做同样的运算。我们只能做这些 "初等行运算"：对换两行的位置把一行里的每个元素乘以或除以一个常数把一行加上另一行的倍，并取代前者。以上一定要以全行运算，像这样：先把 A 写在 I 左边把 行2 加到 行1 上，把 行1 乘以 5，把第一行的两倍从第二行减去，把第二行乘以 -1/2，把第二和第三行对换位置，最后，把第三行从第二行减去，做好了！

（06）矩阵 A 变成单位矩阵。。。。。。。。。。。。同时单位矩阵便成 A-1了